Analysis Beispiele

$2^{2 x} - 32 \cdot 2^{x} + 256 = 0$

Schritt 1

Schreibe $2^{2 x}$ als Potenz um.

${(2^{x})}^{2} - 32 \cdot 2^{x} + 256 = 0$

Schritt 2

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Schritt 3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Setze $u - 16$ gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 16$

Schritt 4

Setze $16$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$16 = 2^{x}$

Schritt 5

Löse $16 = 2^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 16$ um.

$2^{x} = 16$

Schritt 5.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{4}$

Schritt 5.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 4$