Analysis Beispiele

$0 = 12 x^{2} - 176 x + 484$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $12 x^{2} - 176 x + 484 = 0$ um.

$12 x^{2} - 176 x + 484 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2} - 176 x + 484$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$4 (3 x^{2}) - 176 x + 484 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 176 x$ heraus.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 44 x) + 484 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $484$ heraus.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 44 x) + 4 (121) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2}) + 4 (- 44 x)$ heraus.

$4 (3 x^{2} - 44 x) + 4 (121) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2} - 44 x) + 4 (121)$ heraus.

$4 (3 x^{2} - 44 x + 121) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 121 = 363$ und deren Summe gleich $b = - 44$ ist.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 44$ aus $- 44 x$ heraus.

$4 (3 x^{2} - 44 x + 121) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $- 44$ um als $- 11$ plus $- 33$

$4 (3 x^{2} + (- 11 - 33) x + 121) = 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x^{2} - 11 x - 33 x + 121) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 ((3 x^{2} - 11 x) - 33 x + 121) = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 (x (3 x - 11) - 11 (3 x - 11)) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 11$ .

$4 ((3 x - 11) (x - 11)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (3 x - 11) (x - 11) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 11 = 0$

$x - 11 = 0$

Schritt 4

Setze $3 x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x - 11$ gleich $0$ .

$3 x - 11 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x - 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 11$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 11$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 11$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{11}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{11}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{11}{3}$

Schritt 5

Setze $x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 11$ gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (3 x - 11) (x - 11) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{11}{3}, 11$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{11}{3}, 11$

Dezimalform:

$x = 3.\overline{6}, 11$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 3 \frac{2}{3}, 11$