Analysis Beispiele

$e^{a x} = C e^{b x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{a x}) = \ln (C e^{b x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (e^{a x})$ durch Herausziehen von $a x$ aus dem Logarithmus.

$a x \ln (e) = \ln (C e^{b x})$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$a x \cdot 1 = \ln (C e^{b x})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a x = \ln (C e^{b x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (C e^{b x})$ als $\ln (C) + \ln (e^{b x})$ um.

$a x = \ln (C) + \ln (e^{b x})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (e^{b x})$ durch Herausziehen von $b x$ aus dem Logarithmus.

$a x = \ln (C) + b x \ln (e)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$a x = \ln (C) + b x \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$a x = \ln (C) + b x$

Schritt 4

Subtrahiere $b x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x - b x = \ln (C)$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $a x - b x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $a x$ heraus.

$x a - b x = \ln (C)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $- b x$ heraus.

$x a + x (- b) = \ln (C)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $x a + x (- b)$ heraus.

$x (a - b) = \ln (C)$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x (a - b) = \ln (C)$ durch $a - b$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (a - b) = \ln (C)$ durch $a - b$ .

$\frac{x (a - b)}{a - b} = \frac{\ln (C)}{a - b}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - b$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (a - b)}{a - b} = \frac{\ln (C)}{a - b}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (C)}{a - b}$