Analysis Beispiele

$6 x^{2} - 144 x + 486 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 144 x + 486$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) - 144 x + 486 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 144 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (- 24 x) + 486 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $6$ aus $486$ heraus.

$6 x^{2} + 6 (- 24 x) + 6 \cdot 81 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (- 24 x)$ heraus.

$6 (x^{2} - 24 x) + 6 \cdot 81 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - 24 x) + 6 \cdot 81$ heraus.

$6 (x^{2} - 24 x + 81) = 0$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $6 (x^{2} - 24 x + 81) = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (x^{2} - 24 x + 81) = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 (x^{2} - 24 x + 81)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x^{2} - 24 x + 81)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 24 x + 81$ durch $1$ .

$x^{2} - 24 x + 81 = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x^{2} - 24 x + 81 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 24$ und $c = 81$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 81)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $81$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 324}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $324$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{252}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $252$ als $6^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $252$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{36 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 6 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{24 \pm 6 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 6 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 12 \pm 3 \sqrt{7}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 12 + 3 \sqrt{7}, 12 - 3 \sqrt{7}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 12 + 3 \sqrt{7}, 12 - 3 \sqrt{7}$

Dezimalform:

$x = 19.93725393 \dots, 4.06274606 \dots$