Analysis Beispiele

$x = \sqrt[6]{x}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt[6]{x} = x$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[6]{x} - x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\sqrt[6]{x} - x$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{x}$ als $x^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{6}} - x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{6}}$ aus $x^{\frac{1}{6}} - x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{6}}$ aus $- x$ heraus.

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{6}}$ aus $x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}})$ heraus.

$x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

Schritt 5

Setze $x^{\frac{1}{6}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{\frac{1}{6}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{\frac{1}{6}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $6$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 0^{6}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Schritt 5.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Schritt 5.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{6}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{6}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $1 - x^{\frac{5}{6}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $1 - x^{\frac{5}{6}}$ gleich $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

Schritt 6.2

Löse $1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{\frac{5}{6}} = - 1$

Schritt 6.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{6}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{5}{6}}$ an.

${(- 1)}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 1)}^{6} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1.1.3.1

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$1 {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.3.2

Mutltipliziere ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache ${(- 1)}^{\frac{6}{5}}$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.2.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 6.2.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Schritt 6.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = {(- 1)}^{6}$

Schritt 6.2.3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$x = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$