Analysis Beispiele

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.3

Mutltipliziere $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ mit $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $x - 1$ mit ${(x - 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x - 4$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.8

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 6.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$