Analysis Beispiele

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ und $g (x) = 4 x - 4$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [4 x - 4] + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + 0) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \cdot 4 + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 8 x + 16$ .

$4 \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Schritt 5.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.9

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.12

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + 0)$

Schritt 5.13

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5

Vereine die Terme

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x \cdot x - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x^{1}) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{1 + 1} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x - 4 \cdot - 8$

Schritt 6.5.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x + 32$

Schritt 6.5.11

Subtrahiere $32 x$ von $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 40 x + 32$

Schritt 6.5.12

Addiere $4 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 32 x + 64 - 40 x + 32$

Schritt 6.5.13

Subtrahiere $40 x$ von $- 32 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 + 32$

Schritt 6.5.14

Addiere $64$ und $32$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96$