Analysis Beispiele

$\frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Schritt 10

Kombiniere $x^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Schritt 12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$