Analysis Beispiele

$e^{3 \ln (x^{2})}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 \ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 \ln (x^{2})$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $3$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{3}{x^{2}}$ und $e^{3 \ln (x^{2})}$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ heraus.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

Schritt 4.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Schritt 4.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Schritt 4.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $3 \ln (x^{2})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

Schritt 5.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{6}}{x}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x^{6}$ heraus.

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{5}}{1}$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $6 x^{5}$ durch $1$ .

$6 x^{5}$