Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{\ln (x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\ln (x)}$ als ${\ln (x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{3} {\ln (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\ln (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\ln (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {\ln (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {\ln (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {\ln (x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {\ln (x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${\ln (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{\ln (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\ln (x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {\ln (x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 8

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3 {\ln (x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {\ln (x)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3 {\ln (x)}^{\frac{2}{3}} x}$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3 x {\ln (x)}^{\frac{2}{3}}}$