Analysis Beispiele

$2 x \ln (8 x) + x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x \ln (8 x) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (8 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (8 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{8 x}$ und $8$ .

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.10

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $\ln (8 x)$ mit $1$ .

$2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 \ln (8 x) + 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \ln (8 x) + 3$