Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} + 8$ und $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 8] - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2}) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 2$ .

$\frac{3 \cdot (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x + 3 \cdot 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$