Analysis Beispiele

$\cot^{2} (\sin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cot (\sin (x))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cot (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cot (\sin (x))$ .

$2 \cot (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$2 \cot (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cot (\sin (x)) (\csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ um.

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$

Schritt 5.2

Schreibe $\csc (\sin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ an.

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Schritt 5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Schritt 5.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Schritt 5.7

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

Schritt 5.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

Schritt 5.9

Schreibe $\cot (\sin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$

Schritt 5.10

Multipliziere $- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ .

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Schritt 5.10.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ mit $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Schritt 5.10.2

Multipliziere $\sin (\sin (x))$ mit $\sin^{2} (\sin (x))$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.10.2.1

Mutltipliziere $\sin (\sin (x))$ mit $\sin^{2} (\sin (x))$ .

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Schritt 5.10.2.1.1

Potenziere $\sin (\sin (x))$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{1} (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Schritt 5.10.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{{\sin (\sin (x))}^{1 + 2}}$

Schritt 5.10.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{3} (\sin (x))}$

Schritt 5.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (\sin (x))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (\sin (x))}$

Schritt 5.12

Faktorisiere $\sin (\sin (x))$ aus $\sin^{3} (\sin (x))$ heraus.

$- \frac{2 \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Schritt 5.13

Separiere Brüche.

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))})$

Schritt 5.14

Wandle von $\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ nach $\cot (\sin (x))$ um.

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.15

Faktorisiere $\sin (\sin (x))$ aus $\sin^{2} (\sin (x))$ heraus.

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.16

Separiere Brüche.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.17

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.18

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.19

Vereinfache.

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Schritt 5.19.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.19.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ nach $\csc (\sin (x))$ um.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.20

Separiere Brüche.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.21

Wandle von $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ nach $\csc (\sin (x))$ um.

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.22

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- (2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.23

Multipliziere $2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x)))$ .

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Schritt 5.23.1

Potenziere $\csc (\sin (x))$ mit $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.23.2

Potenziere $\csc (\sin (x))$ mit $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc^{1} (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.23.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (2 {\csc (\sin (x))}^{1 + 1} \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.23.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Schritt 5.24

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$