Analysis Beispiele

$f (x) = e^{3 x^{3} + 1} \ln (2 x^{3} + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{3 x^{3} + 1}$ und $g (x) = \ln (2 x^{3} + 3)$ .

$e^{3 x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 3)] + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x^{3} + 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x^{3} + 3$ .

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x^{3} + 3$ .

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{1}{2 x^{3} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{3} + 3}$ und $e^{3 x^{3} + 1}$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3] + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2} + 0) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2}) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $6$ und $\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} x^{2} + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 3.7.3

Kombiniere $\frac{6 e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x^{3} + 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2} + 0))$

Schritt 5.6

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2}))$

Schritt 6

Um $\ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2}))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{3} + 3}{2 x^{3} + 3}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \frac{\ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2})) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2})) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 9 \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.2

Vereinfache $9 \ln (2 x^{3} + 3)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3}) + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.5

Multipliziere $\ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3$ .

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Schritt 8.1.1.5.1

Stelle $\ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ und $3$ um.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot (3 \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}))}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.5.2

Vereinfache $3 \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.1.6.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} (x^{3} x^{2}) + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{3 + 2} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6.2

Vereinfache $2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{2}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{2}$ .

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Schritt 8.1.1.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9 \cdot 2}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3}$ .

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Schritt 8.1.1.6.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9 \cdot 3})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.1.6.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.1.2

Stelle die Faktoren in $6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})$ um.

$\frac{6 x^{2} e^{3 x^{3} + 1} + x^{5} e^{3 x^{3} + 1} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) + x^{2} e^{3 x^{3} + 1} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

Schritt 8.2

Stelle die Terme um.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + e^{3 x^{3} + 1} x^{5} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$