Analysis Beispiele

$\tan (\ln (a x + b))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = \tan (a)$ und $g (a) = \ln (a x + b)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = \ln (a)$ und $g (a) = a x + b$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{a x + b}$ und $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x + b$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Schritt 3.3

Da $x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $a$ gleich $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

Schritt 3.6

Da $b$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ und $x$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren in $\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ um.

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$