Analysis Beispiele

$2 t^{2} + \sqrt{t^{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t^{2} + \sqrt{t^{3}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{2}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t^{3}}$ als $t^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 t + \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}} + 4 t$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 t$