Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{0 - 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $0$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{6}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{4}}$