Analysis Beispiele

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Schritt 13.3

Schreibe $4 \cos^{2} (x)$ als ${(2 \cos (x))}^{2}$ um.

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Schritt 13.4

Schreibe $4 \sin^{2} (x)$ als ${(2 \sin (x))}^{2}$ um.

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Schritt 13.5

Stelle $- {(2 \sin (x))}^{2}$ und ${(2 \cos (x))}^{2}$ um.

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Schritt 13.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 \cos (x)$ und $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Schritt 13.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Schritt 13.8

Multipliziere $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Schritt 13.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Schritt 13.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Schritt 13.9.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ und $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ neu an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.9.2

Addiere $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ und $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.9.3

Addiere $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ und $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.10.1

Multipliziere $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Schritt 13.10.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.10.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.10.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.10.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.10.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Schritt 13.10.2

Multipliziere $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Schritt 13.10.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Schritt 13.10.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 13.10.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 13.10.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 13.10.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$