Analysis Beispiele

$\frac{4 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (4 x) + 3 x^{2}}{x}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 3}{x}]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (4 x + 3)}{x}]$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (4 x + 3)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x}]$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x^{1}}]$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x \cdot 1}]$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x (4 x + 3))}{x \cdot 1}]$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 x + 3)}{1}]$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $x (4 x + 3)$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x + 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 4 x + 3$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$x \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 \cdot x + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + (4 x + 3) \cdot 1$

Schritt 3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $4 x + 3$ mit $1$ .

$4 x + 4 x + 3$

Schritt 3.8.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$8 x + 3$