Analysis Beispiele

$y = \ln (\ln (x^{2}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{\ln (x^{2})}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})} (2 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})}$ .

$\frac{2}{x^{2} \ln (x^{2})} x$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} \ln (x^{2})}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (x^{2})}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2} \ln (x^{2})}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \ln (x^{2})$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x (x \ln (x^{2}))}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2}{x (x \ln (x^{2}))}$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x \ln (x^{2})}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{2}{x (2 \ln (x))}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x (2 \ln (x))}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (\ln (x))}$