Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2} e^{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $\frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ und $x$ .

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{2}{x}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{x} + 1$