Analysis Beispiele

$\frac{5 x}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{1 + x^{2}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$5 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $5$ und $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 5 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$