Analysis Beispiele

$y = \frac{5 x - 2}{4 x + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 x - 2$ und $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $4 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (4 x + 3) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $5 (4 x)$ und $- 4 (5 x)$ neu an.

$\frac{4 \cdot 5 x + 5 \cdot 3 - 4 \cdot 5 x - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $4 \cdot 5 x$ von $4 \cdot 5 x$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $5 \cdot 3$ und $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$\frac{15 + 8}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $15$ und $8$ .

$\frac{23}{{(4 x + 3)}^{2}}$