Analysis Beispiele

$y = x^{2} \sin (6 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (6 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (6 x)$ .

$x^{2} (6 \cdot \cos (6 x)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$6 x^{2} \cos (6 x) + 2 x \sin (6 x)$