Analysis Beispiele

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

Schritt 1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

Schritt 2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Schritt 3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

Schritt 3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ und $g (x) = e^{4 x}$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 6.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 6.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

Schritt 6.10

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Schritt 7.4

Vereine die Terme

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Schritt 7.4.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

Schritt 7.4.4

Addiere $24 x e^{4 x}$ und $e^{4 x} (2 x)$ .

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Schritt 7.4.4.1

Bewege $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Schritt 7.4.4.2

Addiere $24 x e^{4 x}$ und $2 x e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Schritt 7.4.5

Addiere $36 e^{4 x}$ und $6 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

Schritt 7.6

Stelle die Faktoren in $4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ um.

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$