Analysis Beispiele

$\ln (\cos (2 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ um.

$- 2 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 5.2

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Schritt 5.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Schritt 5.5

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{2}{\cos (2 x)}$ .

$- \frac{\sin (2 x) \cdot 2}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.7

Separiere Brüche.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})$

Schritt 5.8

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$- (\frac{2}{1} \tan (2 x))$

Schritt 5.9

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- (2 \tan (2 x))$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \tan (2 x)$