Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} \ln (x)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4} \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$3 (x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{3} + 3 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$3 x^{3} + 12 \ln (x) x^{3}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{3} + 12 x^{3} \ln (x)$