Analysis Beispiele

$y = {(3 x + 1)}^{x - 3}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(3 x + 1)}^{x - 3}$ als $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})$ durch Herausziehen von $x - 3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = (x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = \ln (3 x + 1)$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)] + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x + 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x + 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x + 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + 0) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} \cdot 3 + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x + 1}$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 5.9

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + 0))$

Schritt 5.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \cdot 1)$

Schritt 5.10.2

Mutltipliziere $\ln (3 x + 1)$ mit $1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1))$