Analysis Beispiele

$\sin (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (2 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (2 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$