Analysis Beispiele

$f (x) = (3 x - 8) \ln (2 x^{5} + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x - 8$ und $g (x) = \ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5} + 3)] + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x^{5} + 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{2 x^{5} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{5} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{5}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + 0) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Addiere $10 x^{4}$ und $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4}) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{10}{2 x^{5} + 3} x^{4} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{10}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{x^{4} \cdot 10}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.6.4

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$(3 x - 8) \frac{10 \cdot x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 3.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 3.11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + 0)$

Schritt 3.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \cdot 3$

Schritt 3.12.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + 3 \ln (2 x^{5} + 3)$