Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 4 x}{x + 5} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 4 x = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 4 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 7

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0, 4$

$x = - 5$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 4, - 5$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 4 x}{x + 5}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 4 x}{x + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 5 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot - 8}{(- 8) + 5} > 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 32$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2}{(- 2) + 5} > 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}{(2) + 5} > 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{571428}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6}{(6) + 5} > 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $1.\overline{09}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < 0$ oder $x > 4$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, 0) \cup (4, \infty)$

Schritt 15