Analysis Beispiele

$x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2} = 6$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 8 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' + 8 y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $8 y y'$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2}) + y' (8 y)$ heraus.

$y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ durch $x^{2} + 8 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ durch $x^{2} + 8 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 8 y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x) + x (- 2 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.6.1

Schreibe $- (3 x + 2 y)$ als $- 1 (3 x + 2 y)$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 5.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$