Analysis Beispiele

$x^{4} + y^{4} = 16$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + y^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{3} + 4 y^{3} y'$

Schritt 3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x^{3} + 4 y^{3} y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ durch $4 y^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ durch $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 (y^{3})}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x^{3}}{y^{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$