Analysis Beispiele

$\sin (x y) = y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ um.

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) - y' = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \cos (x y) - y' = - y \cos (x y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $x y' \cos (x y) - y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y' \cos (x y)$ heraus.

$y' (x \cos (x y)) - y' = - y \cos (x y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (x \cos (x y)) + y' \cdot - 1 = - y \cos (x y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x \cos (x y)) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (x \cos (x y) - 1) = - y \cos (x y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (x \cos (x y) - 1) = - y \cos (x y)$ durch $x \cos (x y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x \cos (x y) - 1) = - y \cos (x y)$ durch $x \cos (x y) - 1$ .

$\frac{y' (x \cos (x y) - 1)}{x \cos (x y) - 1} = \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x \cos (x y) - 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x \cos (x y) - 1)}{x \cos (x y) - 1} = \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y) - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y) - 1}$