Analysis Beispiele

$\sin (x + y) = x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x + y) (1 + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Schritt 5.1.1.1

Forme um.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = x y' + y$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1.4.1

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = x y' + y$

Schritt 5.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ um.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = x y' + y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - x y' = y$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\cos (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \cos (x + y) - x y' = y - \cos (x + y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x + y) - x y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x + y)$ heraus.

$y' (\cos (x + y)) - x y' = y - \cos (x + y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (\cos (x + y)) + y' (- x) = y - \cos (x + y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\cos (x + y)) + y' (- x)$ heraus.

$y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ durch $\cos (x + y) - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ durch $\cos (x + y) - x$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x + y) - x$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$