Analysis Beispiele

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ und $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Stelle die Faktoren in $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ um.

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.3

Bewege $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.4

Stelle $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ und $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ um.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(1 + y') y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Stelle $y^{2}$ und $y' y^{2}$ um.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y' y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ heraus.

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y^{2}$ heraus.

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ heraus.

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 5.3.5

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 5.3.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ durch $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ durch $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

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Schritt 5.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.6.3.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.3.6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ heraus.

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Schritt 5.3.6.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ heraus.

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3.2.2

Schreibe $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ als $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ um.

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.6.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ heraus.

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

Schritt 5.3.6.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

Schritt 5.3.6.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Schritt 5.3.6.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.6.3.3.4.1

Schreibe $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ als $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ um.

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Schritt 5.3.6.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$