Analysis Beispiele

$3 x y - x^{2} - 4 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x y - x^{2} - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y - x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x y') + 3 y - 2 x + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3 x y' + 3 y - 2 x$ und $0$ .

$3 x y' + 3 y - 2 x$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$3 x y' - 2 x + 3 y$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x y' - 2 x + 3 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y' + 3 y = 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y' = 2 x - 3 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x y' = 2 x - 3 y$ durch $3 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x y' = 2 x - 3 y$ durch $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$