Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 2 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y' + 2 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x = 2 x y' + 2 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + 2 x - 2 x y' = 2 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 2 x y' = 2 y - 2 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' - 2 x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y - 2 x y' = 2 y - 2 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' (- x) = 2 y - 2 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' (- x)$ heraus.

$2 y' (y - x) = 2 y - 2 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - x) = 2 y - 2 x$ durch $2 (y - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - x) = 2 y - 2 x$ durch $2 (y - x)$ .

$\frac{2 y' (y - x)}{2 (y - x)} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y - x)}{2 (y - x)} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{2 (- x)}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{2 (- x)}{2 (y - x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{- x}{y - x}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{y - x} - \frac{x}{y - x}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y - x}{y - x}$

Schritt 5.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - x$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y - x}{y - x}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = 1$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1$