Analysis Beispiele

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{y}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + \sin (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Schritt 3.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Schritt 3.3.2

Addiere $0$ und $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ .

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ um.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ um.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $x y' \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Schritt 5.4

Addiere $e^{y} \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{y} \cos (x)$ heraus.

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \cos (x y)$ heraus.

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ heraus.

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ durch $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ durch $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$