Analysis Beispiele

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 6 y + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Schritt 2.10

Addiere $2 y y' - 6 y'$ und $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (x - 5)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (1 + 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' - 6 y'$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y - 6 y' = 4$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 6 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ heraus.

$2 y' (y - 3) = 4$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 3) = 4$ durch $2 (y - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 3) = 4$ durch $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$