Analysis Beispiele

$y = {(5 x^{2} + 11 x)}^{20}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x^{2} + 11 x)}^{20})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{20}$ und $g (x) = 5 x^{2} + 11 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 20$ .

$20 u^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} + 11 x$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 11 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 3.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Schritt 3.2.5

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \cdot 1)$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$