Analysis Beispiele

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{2}{4}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{x \cdot 2}$

Schritt 3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$