Analysis Beispiele

$x y = \cot (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\cot (x y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y = - x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$ um.

$x y' + y = - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y)$

Schritt 5.2

Addiere $x y' \csc^{2} (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' + x y' \csc^{2} (x y)$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x y'$ aus $x y'$ heraus.

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' \csc^{2} (x y)$ heraus.

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y)$ heraus.

$x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ durch $x (1 + \csc^{2} (x y))$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ durch $x (1 + \csc^{2} (x y))$ .

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \csc^{2} (x y)$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Schritt 5.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$