Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ als ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$