Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 12 x - 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 36)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $6 x - 12$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 12 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 12$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 12$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 12$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $12$ durch $6$ .

$x = 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $2$ in $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = 8 - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 8 - 6 \cdot 4 - 36 \cdot 2$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f (2) = 8 - 24 - 36 \cdot 2$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$f (2) = 8 - 24 - 72$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$f (2) = - 16 - 72$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $72$ von $- 16$ .

$f (2) = - 88$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 88$ .

$- 88$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ ermittelt werden kann, ist $(2, - 88)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, - 88)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.9$ .

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $12$ von $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Schritt 6.3

Bei $1.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 2)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $12$ von $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.6$ .

$0.6$

Schritt 7.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $0.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(2, - 88)$ .

$(2, - 88)$

Schritt 9