Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , folglich $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x}$ ein.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Schritt 1.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x}$ ein.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $e^{u}$ bei $\frac{1}{2}$ und $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

Schritt 5.2

Multipliziere $- - e$ .

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Dezimalform:

$1.06956055 \dots$

Schritt 7