Analysis Beispiele

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren von $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{2} y' + 8 y x$

Schritt 3.6.3

Stelle die Terme um.

$4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.1.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 x^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $4 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y y' x^{2}$ heraus.

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y^{3} y'$ heraus.

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $- 4 x^{2} y'$ heraus.

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ heraus.

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ heraus.

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ durch $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ durch $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ .

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x y$ heraus.

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y) + x (- x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$