Analysis Beispiele

$\int_{1}^{6} x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 10 x d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $10 x$ und $0$ .

$10 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 x^{2} + 4$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 1^{2} + 4$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 5 \cdot 1 + 4$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Schritt 1.3.2

Addiere $5$ und $4$ .

$u_{lower} = 9$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 x^{2} + 4$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 6^{2} + 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 36 + 4$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $36$ .

$u_{upper} = 180 + 4$

Schritt 1.5.2

Addiere $180$ und $4$ .

$u_{upper} = 184$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 184$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{9}^{184} \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{10}$ .

$\int_{9}^{184} \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{10} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{184}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $184$ und $9$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{2}{3} \cdot 184^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $184^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Schritt 6.2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.2.7

Kombiniere $- 27$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $3$ .

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Schritt 6.2.9.1

Faktorisiere $3$ aus $- 54$ heraus.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Schritt 6.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Schritt 6.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Schritt 6.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Schritt 6.2.9.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

Schritt 7.2

Kombinieren.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} \cdot - 18$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} \cdot - 9$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 \cdot (184^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 7.5.3

Mutltipliziere $184^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 7.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 7.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

Dezimalform:

$164.59316225 \dots$

Schritt 9