Analysis Beispiele

$\int_{1}^{8} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (8)$

Schritt 1.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Schritt 1.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\ln (8)} u d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\ln (8)}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $\ln (8)$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \ln^{2} (8)) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln^{2} (8)$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0$

Schritt 3.2.5

Addiere $\frac{\ln^{2} (8)}{2}$ und $0$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

Dezimalform:

$2.16203856 \dots$