Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ bei $3$ und $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $3$ und $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.2

Bringe $27$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27 \ln (3)$ heraus.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.3.2.4

Dividiere $9 \ln (3)$ durch $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $\ln (1)$ mit $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 6.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.8.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.11

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.12

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Schritt 6.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.14.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Schritt 6.3.14.2

Subtrahiere $1$ von $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

Schritt 6.3.15

Mutltipliziere $\frac{26}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.3.16

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $0$ durch $3$ .

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

Schritt 7.2

Addiere $9 \ln (3)$ und $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Dezimalform:

$6.99862170 \dots$